微分積分例

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

ステップ 1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{1}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

ステップ 2.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 2.4.2.3

$x$ と $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 2.6.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2}{4}$

ステップ 2.6.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 2.6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{1}{2}$ と与えられた点 $(1, \frac{1}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.3.1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{- x + 2}{2}$

ステップ 3.3.2.4

分数 $\frac{- x + 2}{2}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.5.2

$2$ を $2$ で割ります。

$y = - \frac{x}{2} + 1$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

ステップ 4

微分積分 例

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