微分積分例

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = \frac{5}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{- 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

ステップ 1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

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ステップ 1.4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.4.4

項を並べ替えます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.5

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2

$2$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.2.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.3.2

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.6.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.6.1.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.6.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 1.6.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

ステップ 1.6.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 1.6.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

ステップ 1.6.2

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.6.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.6.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.6.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

ステップ 1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 2}{8}$

ステップ 1.6.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{8}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{8}$ と与えられた点 $(4, \frac{5}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{5}{2}$ を足します。

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

ステップ 2.3.2.4

$4$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{x}{8} + 2$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{8} x + 2$

ステップ 3

微分積分 例

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