微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

ステップ 1.1.2

$\frac{x}{2}$ と $\ln (x^{4})$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4

項を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.2

$\frac{4}{x^{3}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.3.2

$4$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

ステップ 1.4.6

$\ln (x^{4})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

ステップ 1.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x^{4})$ をまとめます。

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

ステップ 1.5.4.2

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{4})$ を展開します。

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

ステップ 1.5.4.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1

$2$ を $4 \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

ステップ 1.5.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

ステップ 1.5.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

ステップ 1.5.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

ステップ 1.5.4.3.2.4

$2 \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (x) + 2$

ステップ 1.6

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$2 \ln (- 1) + 2$

ステップ 1.7

負の数の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 2

直線の傾きは未定義です。つまり、 $x = - 1$ においてx軸に垂直です。

$x = - 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例