微分積分例

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 5 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$- 5$ に $3$ をかけます。

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

ステップ 1.3.4

$- 15$ に $1$ をかけます。

$- 15 e^{- 5 x}$

ステップ 1.4

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$- 15 e^{0}$

ステップ 1.5.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 15 \cdot 1$

ステップ 1.5.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$- 15$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 15$ と与えられた点 $(0, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 3 = - 15 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - 15 x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例