微分積分例

$y = \sqrt{2 x}$ at $(8, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 8$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.12.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

$x = 8$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

簡約します。

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ステップ 1.14.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.14.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14.1.2

${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.14.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.14.1.2.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.14.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 1.14.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 3}{2}}}$

ステップ 1.14.1.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}}$

ステップ 1.14.1.6

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.14.1.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 1.14.1.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.14.1.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

ステップ 1.14.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 1.14.1.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 1.14.1.6.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2^{2}}$

ステップ 1.14.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{4}$ と与えられた点 $(8, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = \frac{1}{4} \cdot (x - (8))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 8)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = \frac{1}{4} \cdot (x - 8)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

ステップ 2.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

ステップ 2.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - 4 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

ステップ 2.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - 4 = \frac{x}{4} - 2$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \frac{x}{4} - 2 + 4$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{x}{4} + 2$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} x + 2$

ステップ 3

微分積分 例

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