微分積分例

$x^{2} + y^{2} = 25$ ; $(- 4, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 4$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

微分します。

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ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 1.2.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 1.3

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' = - 2 x$

ステップ 1.5.2

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y}$

ステップ 1.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

ステップ 1.7

$y = 3$ と $x = - 4$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$- \frac{- 4}{y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{- 4}{3}$

ステップ 1.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{4}{3}$

ステップ 1.7.4

$- - \frac{4}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{4}{3})$

ステップ 1.7.4.2

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{4}{3}$ と与えられた点 $(- 4, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{4}{3} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{4}{3} \cdot (x + 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{3} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = \frac{4}{3} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{4}{3} \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{4}{3}$ と $4$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

ステップ 2.3.1.5.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

ステップ 2.3.2.5.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

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