微分積分例

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y^{2}$ ; $(3, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y^{2})$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6.2

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x y^{2}$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$100 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$100 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$100 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$100 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$100 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 1.3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$100 (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 1.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

分配則を当てはめます。

$100 (2 x y y') + 100 y^{2}$

ステップ 1.3.8.2

$2$ に $100$ をかけます。

$200 x y y' + 100 y^{2}$

ステップ 1.3.8.3

項を並べ替えます。

$100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.5

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.6

$6$ に $2$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.8

$6$ に $2$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 y^{2} + 200 x y y'$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $200 x y y'$ を引きます。

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2}$

ステップ 1.5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

方程式の両辺から $12 x^{3}$ を引きます。

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3}$

ステップ 1.5.3.2

方程式の両辺から $12 x y^{2}$ を引きます。

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.4

$4 y y'$ を $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$4 y y'$ を $12 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.2

$4 y y'$ を $12 y^{3} y'$ で因数分解します。

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.3

$4 y y'$ を $- 200 x y y'$ で因数分解します。

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.4

$4 y y'$ を $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ で因数分解します。

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.5

$4 y y'$ を $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x)$ で因数分解します。

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

ステップ 1.5.5

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ の各項を $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ の各項を $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ で割ります。

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.2.3

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1

$100$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.1

$4$ を $100 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.1

$4$ を $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.1

$y$ を $25 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3

$- 12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.3.1

$4$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.3.2.1

$4$ を $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5

$- 12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.1

$4$ を $- 12 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.1

$4$ を $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.6

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.6.1

$y$ を $- 3 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.6.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.2

$\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.1

$\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{25 y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.3.2

$(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{25 y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{25 y \cdot y - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.5.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{25 (y \cdot y) - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

ステップ 1.5.5.3.6

$- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.5.5.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.7.1

$\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y}$

ステップ 1.5.5.3.7.2

$(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.9

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.9.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.5.5.3.9.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 3$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$\frac{25 y^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot y^{2}}{y (3 {(3)}^{2} + 3 y^{2} - 50 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{(1) (3 {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1} {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1 + 2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.4

$3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{25 \cdot 1 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.2

$25$ に $1$ をかけます。

$\frac{25 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{25 - 3 \cdot 27 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.4

$- 3$ に $27$ をかけます。

$\frac{25 - 81 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.7

$- 9$ に $1$ をかけます。

$\frac{25 - 81 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.8

$25$ から $81$ を引きます。

$\frac{- 56 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.5.9

$- 56$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 65}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1 - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.6.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 65}{27 + 3 - 50 \cdot 3}$

ステップ 1.7.6.4

$- 50$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 65}{27 + 3 - 150}$

ステップ 1.7.6.5

$27$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 65}{30 - 150}$

ステップ 1.7.6.6

$30$ から $150$ を引きます。

$\frac{- 65}{- 120}$

ステップ 1.7.7

$- 65$ と $- 120$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.7.1

$- 5$ を $- 65$ で因数分解します。

$\frac{- 5 (13)}{- 120}$

ステップ 1.7.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.7.2.1

$- 5$ を $- 120$ で因数分解します。

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

ステップ 1.7.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

ステップ 1.7.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{13}{24}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $\frac{13}{24}$ と与えられた点 $(3, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = \frac{13}{24} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{13}{24} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = \frac{13}{24} x + \frac{13}{24} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{13}{24}$ と $x$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{24} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 (8)} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{8} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{13}{8}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13 \cdot - 1}{8}$

ステップ 2.3.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.7.1

$13$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13}{8}$

ステップ 2.3.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + \frac{8}{8}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13 + 8}{8}$

ステップ 2.3.2.4

$- 13$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 5}{8}$

ステップ 2.3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{5}{8}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{13}{24} x - \frac{5}{8}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例