微分積分例

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x y - 2 x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

ステップ 1.2.5

分配則を当てはめます。

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

ステップ 1.3

$- 14$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 14$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

ステップ 1.5.2

$y'$ を $2 x y' + y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$y'$ を $2 x y'$ で因数分解します。

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

ステップ 1.5.2.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

ステップ 1.5.2.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

ステップ 1.5.2.4

$y'$ を $y' (2 x) + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

ステップ 1.5.3

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ の各項を $2 x + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ の各項を $2 x + 1$ で割ります。

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.2

$2$ を $- 2 y + 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.3.2.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.2.3

$2$ を $2 (- y) + 2 (1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.5

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.6.1

$- (y - 1)$ を $- 1 (y - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

ステップ 1.5.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.7

$y = - 2$ と $x = 2$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $- 2$ で置換えます。

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

ステップ 1.7.3

$- 2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

ステップ 1.7.4.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

ステップ 1.7.5

式を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{- 6}{5}$

ステップ 1.7.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{6}{5}$

ステップ 1.7.6

$- - \frac{6}{5}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{6}{5})$

ステップ 1.7.6.2

$\frac{6}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{5}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{6}{5}$ と与えられた点 $(2, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{6}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{6}{5} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{6}{5}$ と $- 2$ をまとめます。

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

ステップ 2.3.1.5.2

$6$ に $- 2$ をかけます。

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$- 2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 12$ から $10$ を引きます。

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

ステップ 2.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例