微分積分例

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{6}$ と $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.2

$x = \frac{π}{6}$ で微分係数を求めます。

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.4

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.3.5

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.5.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.5.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.5.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

ステップ 1.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

ステップ 1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

ステップ 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

ステップ 1.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

ステップ 1.3.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{9}$

ステップ 1.3.8

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.8.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (2)}{9}$

ステップ 1.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.8.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{2}{3}$ と与えられた点 $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{3}$ に $\frac{- π}{3}$ をかけます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.7

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.7.1

$3$ に $3$ をかけます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

ステップ 2.3.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ を足します。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

ステップ 2.3.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $- π$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 2.3.3.6

$- 1$ を $6 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

ステップ 2.3.3.8

$- (π - 6 \sqrt{3})$ を $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

ステップ 2.3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 2.3.3.10

項を並べ替えます。

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例