微分積分例

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.5

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.6

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.6.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 1.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.6.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.10.2

$2$ から $3$ を引きます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.12

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.14

指数を足して $x^{- \frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.14.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.14.3

公分母の分子をまとめます。

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.14.4

$- 4$ から $1$ を引きます。

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.14.5

分数の前に負数を移動させます。

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.16

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.17

$- 5$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.18

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.5

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.6.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 1.6.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 1.6.1.1.3.2

式を書き換えます。

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

ステップ 1.6.1.1.4

$- 1$ を $5$ 乗します。

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

ステップ 1.6.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

ステップ 1.6.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 1 - - \frac{10}{3}$

ステップ 1.6.1.4

$- - \frac{10}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.6.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

ステップ 1.6.1.4.2

$\frac{10}{3}$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{10}{3}$

ステップ 1.6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

ステップ 1.6.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

ステップ 1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

ステップ 1.6.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 + 10}{3}$

ステップ 1.6.5.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$\frac{7}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{7}{3}$ と与えられた点 $(- 1, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{7}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{7}{3}$ に $1$ をかけます。

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

ステップ 2.3.2.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.2.3

$6$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$6$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

ステップ 2.3.2.5.2

$7$ と $18$ をたし算します。

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例