微分積分例

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{1}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 x^{3}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 1.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

ステップ 1.4.2

$\frac{- 3}{2}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

ステップ 1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

ステップ 1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{3}{2}$ と与えられた点 $(1, \frac{1}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.1.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

ステップ 2.3.2.4

分数 $\frac{- 3 x + 4}{2}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

ステップ 2.3.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$4$ を $2$ で割ります。

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

ステップ 3

微分積分 例

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