微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ at $x = 0$

ステップ 1

$x = 0$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.3

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.4

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.4.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3 \cdot 0 + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.4.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 2 (0) - 2$

ステップ 1.2.4.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

ステップ 1.2.4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 - 2$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 - 2$

ステップ 1.2.4.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$y = - 2$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} - 6 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 6 x + 2$

ステップ 2.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

ステップ 2.6.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 6 \cdot 0 + 2$

ステップ 2.6.1.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 2$

ステップ 2.6.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2$

ステップ 2.6.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $2$ と与えられた点 $(0, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (0))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = 2 \cdot (x + 0)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y + 2 = 2 x$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = 2 x - 2$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例