微分積分例

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 3$ と $y = - 9$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{x + 5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x + 5$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

$0$ と $5$ をたし算します。

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$6$ と $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = - 3$ で微分係数を求めます。

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$\frac{30}{2^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{30}{4}$

ステップ 1.5.2

$30$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{2 (15)}{4}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{15}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{15}{2}$ と与えられた点 $(- 3, - 9)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{15}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{15}{2} \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{15}{2}$ と $3$ をまとめます。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

ステップ 2.3.1.5.2

$15$ に $3$ をかけます。

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

ステップ 2.3.2.2

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$- 9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$45$ から $18$ を引きます。

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例