微分積分例

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{4} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $y^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' + 12 \cdot 1$

ステップ 1.3.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$2 y y' + 12$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $2 y y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 1.5.3

$2 y y'$ を $4 y^{3} y' - 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$2 y y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 1.5.3.2

$2 y y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 1.5.3.3

$2 y y'$ を $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 1.5.4

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ の各項を $2 y (2 y^{2} - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ の各項を $2 y (2 y^{2} - 1)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2.3

$2 y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.1.1

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (2 y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 0$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$2 \cdot 1^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.3

$6$ を $1$ で割ります。

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.6

$3$ に $0$ をかけます。

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

ステップ 1.7.3.7

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.3.7.1

1のすべての数の累乗は1です。

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

ステップ 1.7.3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

ステップ 1.7.3.7.3

$2$ から $1$ を引きます。

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$6 - \frac{0}{2}$

ステップ 1.7.3.9

$0$ を $2$ で割ります。

$6 - 0$

ステップ 1.7.3.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$6 + 0$

ステップ 1.7.4

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $6$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = 6 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 6 x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例