微分積分例

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{5}{1^{2}}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \frac{5}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$\frac{5}{{(1)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{5}{1}$

ステップ 1.2.3.2

$5$ を $1$ で割ります。

$y = 5$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x^{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 2.4

$- 2$ に $5$ をかけます。

$- 10 x^{- 3}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 10$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{x^{3}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{x^{3}}$

ステップ 2.6

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{10}{{(1)}^{3}}$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{10}{1}$

ステップ 2.7.2

$10$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 10$

ステップ 2.7.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 10$ と与えられた点 $(1, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = - 10 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 10 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 - 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = - 10 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = - 10 x - 10 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 = - 10 x + 10$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = - 10 x + 10 + 5$

ステップ 3.3.2.2

$10$ と $5$ をたし算します。

$y = - 10 x + 15$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例