微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ ; $(4, - 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = - 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{x - 5}$ を ${(x - 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 1.3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x - 5)}^{- 2}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$4$ から $5$ を引きます。

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 1.6.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 1.6.2.1.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.6.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(4, - 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 1 \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y + 1 = - x + 4$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - x + 4 - 1$

ステップ 2.3.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$y = - x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例