微分積分例

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

${(5 x + 1)}^{2}$ を $(5 x + 1) (5 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(5 x + 1) (5 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.5

$5 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

ステップ 1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

ステップ 1.3.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

ステップ 1.4

総和則では、 $25 x^{2} + 10 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.5

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 x^{2}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.7

$2$ に $25$ をかけます。

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.8

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.10

$10$ に $1$ をかけます。

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$50 x + 10 + 0$

ステップ 1.12

$50 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$50 x + 10$

ステップ 1.13

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$50 (0) + 10$

ステップ 1.14

簡約します。

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ステップ 1.14.1

$50$ に $0$ をかけます。

$0 + 10$

ステップ 1.14.2

$0$ と $10$ をたし算します。

$10$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $10$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = 10 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 10 x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例