微分積分例

$f (x) = \ln^{4} (x)$ at $x = 8$

ステップ 1

$x = 8$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$8$ を $x$ に代入します。

$y = \ln ({(8)}^{4})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln (8^{4})$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \ln ({(8)}^{4})$

ステップ 1.2.3

$8$ を $4$ 乗します。

$y = \ln (4096)$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 8$ と $y = \ln (4096)$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を ${(x)}^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を ${(x)}^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{4}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x}$

ステップ 2.3

$x = 8$ で微分係数を求めます。

$\frac{4}{8}$

ステップ 2.4

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (1)}{8}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{1}{2}$ と与えられた点 $(8, \ln (4096))$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\ln (4096)) = \frac{1}{2} \cdot (x - (8))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{2} \cdot (x - 8)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \ln (4096) = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} \cdot (x - 8)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \ln (4096) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 8$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 8$

ステップ 3.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 4))$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 4)$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - \ln (4096) = \frac{x}{2} - 4$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\ln (4096)$ を足します。

$y = \frac{x}{2} - 4 + \ln (4096)$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2} x - 4 + \ln (4096)$

ステップ 4

微分積分 例

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