微分積分例

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

ステップ 1

$x = π$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$π$ を $x$ に代入します。

$y = (π) \sin (10 (π))$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$10$ に $π$ をかけます。

$y = π \sin (10 π)$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = (π) \sin (10 (π))$

ステップ 1.2.3

$(π) \sin (10 (π))$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$y = π \sin (0)$

ステップ 1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$y = π \cdot 0$

ステップ 1.2.3.3

$π$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = π$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (10 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 10 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $10 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $10 x$ で置き換えます。

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$10$ に $1$ をかけます。

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.2

$10$ を $\cos (10 x)$ の左に移動させます。

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\sin (10 x)$ に $1$ をかけます。

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

ステップ 2.3.5.2

項を並べ替えます。

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

ステップ 2.4

$x = π$ で微分係数を求めます。

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

ステップ 2.5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

ステップ 2.5.1.3

$10$ に $1$ をかけます。

$10 π + \sin (10 (π))$

ステップ 2.5.1.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$10 π + \sin (0)$

ステップ 2.5.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$10 π + 0$

ステップ 2.5.2

$10 π$ と $0$ をたし算します。

$10 π$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $10 π$ と与えられた点 $(π, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 10 π \cdot (x - π)$

ステップ 3.3.2

$10 π \cdot (x - π)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

ステップ 3.3.2.2

$10 π (- π)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$y = 10 π x - 10 π π$

ステップ 3.3.2.2.2

$π$ を $1$ 乗します。

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

ステップ 3.3.2.2.3

$π$ を $1$ 乗します。

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

ステップ 3.3.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

ステップ 3.3.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

ステップ 4

微分積分 例

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