微分積分例

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{6}$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$8 \cos (x)$

ステップ 1.3

$x = \frac{π}{6}$ で微分係数を求めます。

$8 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$4 \sqrt{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $4 \sqrt{3}$ と与えられた点 $(\frac{π}{6}, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

ステップ 2.3.1.4.2

$2$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

ステップ 2.3.1.4.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

ステップ 2.3.1.4.4

共通因数を約分します。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.4.5

式を書き換えます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{- π}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

ステップ 2.3.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

ステップ 2.3.1.7

$\frac{- 2 π}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.3.2

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $- 2 π \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

ステップ 2.3.3.6

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

ステップ 2.3.3.8

$- (2 π \sqrt{3} - 12)$ を $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ に書き換えます。

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

ステップ 2.3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例