微分積分例

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

ステップ 1.2

$e^{{(1)}^{3} - 1}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = e^{1 - 1}$

ステップ 1.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$y = e^{0}$

ステップ 1.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 1$ で置き換えます。

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 2.2.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

ステップ 2.3.2

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

ステップ 2.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

ステップ 2.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

ステップ 2.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 e^{1 - 1}$

ステップ 2.5.4

$1$ から $1$ を引きます。

$3 e^{0}$

ステップ 2.5.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.5.6

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $3$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$3 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = 3 x - 3$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 3 x - 3 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$y = 3 x - 2$

ステップ 4

微分積分 例

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