微分積分例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{4}{9}$

ステップ 1

$x = \frac{4}{9}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{4}{9}$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

ステップ 1.2

$\sqrt{\frac{4}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

ステップ 1.2.2

$\sqrt{\frac{4}{9}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

ステップ 1.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 1.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2}{\sqrt{9}}$

ステップ 1.2.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 1.2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2}{3}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{4}{9}$ と $y = \frac{2}{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.9

$x = \frac{4}{9}$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.10

簡約します。

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ステップ 2.10.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.10.1.1

積の法則を $\frac{4}{9}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.2.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2 \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.10.1.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.10.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

ステップ 2.10.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

ステップ 2.10.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{1}}}$

ステップ 2.10.1.3.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.10.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.10.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{3}}$

ステップ 2.10.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.10.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{3}{4})$

ステップ 2.10.4

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{3}{4}$ と与えられた点 $(\frac{4}{9}, \frac{2}{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (x - (\frac{4}{9}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

ステップ 3.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- \frac{4}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{9}$

ステップ 3.3.1.5.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 (3)}$

ステップ 3.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

ステップ 3.3.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.6.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{3}$

ステップ 3.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{3}$

ステップ 3.3.1.6.3

式を書き換えます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を足します。

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1 + 2}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例