微分積分例

$g (x) = \frac{6 x}{x + 3}$ at $(- 1, - 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = - 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{x + 3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$6 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$6 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$6 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$6$ と $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{18}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{18}{{((- 1) + 3)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{18}{2^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{18}{4}$

ステップ 1.5.2

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 (9)}{4}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{9}{2}$ と与えられた点 $(- 1, - 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 3) = \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 3 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{9}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{9}{2}$ に $1$ をかけます。

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3$

ステップ 2.3.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 6}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$9$ から $6$ を引きます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{9}{2} x + \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例