微分積分例

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 4}$ at $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$

ステップ 1.2

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{4 + 4}$

ステップ 1.2.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{8}$

ステップ 1.2.3

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{2^{3}}$

ステップ 1.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 2$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2} + 4}$ を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

ステップ 2.11

分数をまとめます。

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ステップ 2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

ステップ 2.11.2

$2$ と $\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} x$

ステップ 2.11.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.12

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{2 (2)}{3 {({(2)}^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 {(2^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{3 {(4 + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2.3

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.13.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 2.13.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 2.13.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{3 \cdot 2^{2}}$

ステップ 2.13.2.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{3 \cdot 4}$

ステップ 2.13.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.13.3.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4}{12}$

ステップ 2.13.3.2

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (1)}{12}$

ステップ 2.13.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.3.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.13.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.13.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{1}{3}$ と与えられた点 $(2, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

ステップ 3.3.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例