微分積分例

$y = \frac{e^{4 x}}{x}$ , $(\frac{1}{4}, 4 e)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{1}{4}$ と $y = 4 e$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{4 x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (e^{4 x} \cdot 4) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{x (4 \cdot e^{4 x}) - e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (4 e^{4 x}) - e^{4 x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

$e^{4 x}$ を $4 e^{4 x} x - e^{4 x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.3.1

$e^{4 x}$ を $4 e^{4 x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (4 x) - e^{4 x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

$e^{4 x}$ を $- e^{4 x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3.3

$e^{4 x}$ を $e^{4 x} (4 x) + e^{4 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.5

$x = \frac{1}{4}$ で微分係数を求めます。

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (4 (\frac{1}{4}) - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 (\frac{1}{4})} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4

簡約します。

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 1.6.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{4^{2}}}$

ステップ 1.6.2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{16}}$

ステップ 1.6.3

$e$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\frac{1}{16}}$

ステップ 1.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$0 \cdot 16$

ステップ 1.6.5

$0$ に $16$ をかけます。

$0$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $0$ と与えられた点 $(\frac{1}{4}, 4 e)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{4}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{4})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $x - \frac{1}{4}$ をかけます。

$y - 4 e = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4 e$ を足します。

$y = 4 e$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例