微分積分例

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{2}$ と $y = \frac{π}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{\sin (x)}$ を $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

ステップ 1.1.2

$\sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sin (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 1.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.5

$\sin (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

ステップ 1.7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ と $\frac{\sin (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

ステップ 1.7.3

項を並べ替えます。

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

ステップ 1.8

$x = \frac{π}{2}$ で微分係数を求めます。

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9

簡約します。

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ステップ 1.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.2

対数の中の $1$ を移動させて $1 \ln (\frac{π}{2})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.4

簡約します。

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.6

$\frac{π}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.7

$0$ に $\ln (\frac{π}{2})$ をかけます。

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.9.1.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.10

対数の中の $1$ を移動させて $1 \ln (\frac{π}{2})$ を簡約します。

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.11

指数関数と対数関数は逆関数です。

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.12

簡約します。

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.14

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.15

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1.15.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

ステップ 1.9.1.15.2

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 1.9.1.16

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1.16.1

共通因数を約分します。

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 1.9.1.16.2

式を書き換えます。

$0 + 1$

ステップ 1.9.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - \frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.2.2

$x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- \frac{π}{2}$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$y = x + 0$

ステップ 2.3.2.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y = x$

ステップ 3

微分積分 例

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