微分積分例

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

ステップ 1.2.3

${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

ステップ 1.2.3.2

${(3 - (1))}^{3}$ に $1$ をかけます。

$y = {(3 - (1))}^{3}$

ステップ 1.2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = {(3 - 1)}^{3}$

ステップ 1.2.3.4

$3$ から $1$ を引きます。

$y = 2^{3}$

ステップ 1.2.3.5

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 8$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 3 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 - x$ とします。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 - x$ で置き換えます。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $3 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

ステップ 2.3.9

$4$ を ${(3 - x)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3} {(3 - x)}^{2}$ を $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$x^{3} {(3 - x)}^{2}$ を $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ で因数分解します。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

ステップ 2.4.1.2

$x^{3} {(3 - x)}^{2}$ を $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

ステップ 2.4.1.3

$x^{3} {(3 - x)}^{2}$ を $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ で因数分解します。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.3

${(3 - x)}^{2}$ を $(3 - x) (3 - x)$ に書き換えます。

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - x) (3 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.4.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.5.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.6

分配則を当てはめます。

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

$9$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.7.3

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.7.3.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.8

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.1

$x$ を移動させます。

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.8.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.8.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

ステップ 2.4.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.9.1

分配則を当てはめます。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

ステップ 2.4.9.2

$4$ に $3$ をかけます。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

ステップ 2.4.9.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

ステップ 2.4.10

$- 3 x$ から $4 x$ を引きます。

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

ステップ 2.4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ を展開します。

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.2.1

$x$ を移動させます。

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.3

$9$ に $- 7$ をかけます。

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.4

$12$ に $9$ をかけます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.6

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.6.1

$x$ を移動させます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.6.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.6.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.7

$- 6$ に $- 7$ をかけます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.8

$12$ に $- 6$ をかけます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.10

指数を足して $x^{5}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.10.1

$x$ を移動させます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.10.2

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.10.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.10.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

ステップ 2.4.12.11

$12$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

ステップ 2.4.13

$- 63 x^{4}$ から $72 x^{4}$ を引きます。

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

ステップ 2.4.14

$42 x^{5}$ と $12 x^{5}$ をたし算します。

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

ステップ 2.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.2

$- 135$ に $1$ をかけます。

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.4

$108$ に $1$ をかけます。

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.6

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

ステップ 2.6.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

ステップ 2.6.1.8

$54$ に $1$ をかけます。

$- 135 + 108 - 7 + 54$

ステップ 2.6.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$- 135$ と $108$ をたし算します。

$- 27 - 7 + 54$

ステップ 2.6.2.2

$- 27$ から $7$ を引きます。

$- 34 + 54$

ステップ 2.6.2.3

$- 34$ と $54$ をたし算します。

$20$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $20$ と与えられた点 $(1, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$20 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$20$ に $- 1$ をかけます。

$y - 8 = 20 x - 20$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = 20 x - 20 + 8$

ステップ 3.3.2.2

$- 20$ と $8$ をたし算します。

$y = 20 x - 12$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例