微分積分例

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (3)$

ステップ 1

$x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ を $x$ に代入します。

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

ステップ 1.2

$e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (3)$ を簡約します。

$y = e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 1.2.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ を簡約します。

$y = e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

ステップ 1.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$y = {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

ステップ 1.2.4

${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 1.2.4.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$y = 3^{1}$

ステップ 1.2.5

指数を求めます。

$y = 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{1}{5} \ln (3)$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{5 x} \cdot 5$

ステップ 2.2.3.2

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$5 e^{5 x}$

ステップ 2.3

$x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ で微分係数を求めます。

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (3)$ を簡約します。

$5 e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 2.4.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ を簡約します。

$5 e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

ステップ 2.4.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$5 {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

ステップ 2.4.4

${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 2.4.4.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

ステップ 2.4.4.2.2

式を書き換えます。

$5 \cdot 3^{1}$

ステップ 2.4.5

指数を求めます。

$5 \cdot 3$

ステップ 2.4.6

$5$ に $3$ をかけます。

$15$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $15$ と与えられた点 $(\frac{1}{5} \cdot \ln (3), 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = 15 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (3)))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = 15 x + 15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

ステップ 3.3.1.4

$15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.4.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$y - 3 = 15 x - 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$

ステップ 3.3.1.4.2

対数の中の $15$ を移動させて $- 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ を簡約します。

$y - 3 = 15 x - \ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{15})$

ステップ 3.3.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.5.1

${(3^{\frac{1}{5}})}^{15}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot 15})$

ステップ 3.3.1.5.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 (3))})$

ステップ 3.3.1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3)})$

ステップ 3.3.1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{3})$

ステップ 3.3.1.5.2

$3$ を $3$ 乗します。

$y - 3 = 15 x - \ln (27)$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = 15 x - \ln (27) + 3$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例