微分積分例

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x + 3 y^{2} y'$

ステップ 1.2.4

項を並べ替えます。

$3 y^{2} y' + 4 x$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $5 y + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 y' + 3 \cdot 1$

ステップ 1.3.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$5 y' + 3$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $5 y'$ を引きます。

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

ステップ 1.5.3

$y'$ を $3 y^{2} y' - 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

ステップ 1.5.3.2

$y'$ を $- 5 y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

ステップ 1.5.3.3

$y'$ を $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

ステップ 1.5.4

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ の各項を $3 y^{2} - 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ の各項を $3 y^{2} - 5$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$3 y^{2} - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.7

$y = 2$ と $x = 2$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $2$ で置換えます。

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

ステップ 1.7.3.2

$3$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

ステップ 1.7.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 5}{12 - 5}$

ステップ 1.7.4.3

$12$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 5}{7}$

ステップ 1.7.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{7}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{5}{7}$ と与えられた点 $(2, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{5}{7}$ をまとめます。

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{5}{7} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ と $\frac{5}{7}$ をまとめます。

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

ステップ 2.3.1.5.3

$2$ に $5$ をかけます。

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

ステップ 2.3.1.6

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$2$ に $7$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

ステップ 2.3.2.5.2

$10$ と $14$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例