微分積分例

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

ステップ 1

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{3}{4} \cdot π$ を $x$ に代入します。

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 1.2.2

$- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ と $π$ をまとめます。

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.2.2.4

$- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.4.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.4.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{3}{4} π$ と $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 (- \sin (x))$

ステップ 2.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 \sin (x)$

ステップ 2.4

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ で微分係数を求めます。

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{3}{4}$ と $π$ をまとめます。

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 2.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$3 \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 2.5.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.4

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ と与えられた点 $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{3 π}{4}$ をかけます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.1.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.1.5.3

$2$ に $4$ をかけます。

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ を足します。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.3.2.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

ステップ 3.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

ステップ 3.3.3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.5

$- 1$ を $- 9 \sqrt{2} π$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.6

$- 1$ を $12 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.7

$- 1$ を $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.8

$- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ を $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ に書き換えます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.10

項を並べ替えます。

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例