微分積分例

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

ステップ 1.2.3

${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

ステップ 1.2.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

ステップ 1.2.3.3

$3$ から $2$ を引きます。

$y = 8 \cdot 1^{4}$

ステップ 1.2.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 8 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.5

$8$ に $1$ をかけます。

$y = 8$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 3 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 - x$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 - x$ で置き換えます。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $3 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

ステップ 2.3.9

$3$ を ${(3 - x)}^{4}$ の左に移動させます。

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} {(3 - x)}^{3}$ を $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$x^{2} {(3 - x)}^{3}$ を $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ で因数分解します。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

ステップ 2.4.1.2

$x^{2} {(3 - x)}^{3}$ を $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

ステップ 2.4.1.3

$x^{2} {(3 - x)}^{3}$ を $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ で因数分解します。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

ステップ 2.4.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

ステップ 2.5

$x = 2$ で微分係数を求めます。

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.1.3

$3$ から $2$ を引きます。

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

ステップ 2.6.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

ステップ 2.6.2.3

$3$ から $2$ を引きます。

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

ステップ 2.6.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$4 (- 8 + 3)$

ステップ 2.6.3

式を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$- 8$ と $3$ をたし算します。

$4 \cdot - 5$

ステップ 2.6.3.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$- 20$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 20$ と与えられた点 $(2, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 20 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 20$ に $- 2$ をかけます。

$y - 8 = - 20 x + 40$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = - 20 x + 40 + 8$

ステップ 3.3.2.2

$40$ と $8$ をたし算します。

$y = - 20 x + 48$

ステップ 4

微分積分 例

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