微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

ステップ 1

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{3}{4} \cdot π$ を $x$ に代入します。

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 1.2.2

$2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ と $π$ をまとめます。

$y = 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 1.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$y = 2 \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 1.2.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$y = \sqrt{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{3}{4} π$ と $y = \sqrt{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x)$

ステップ 2.3

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ で微分係数を求めます。

$2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{3}{4}$ と $π$ をまとめます。

$2 \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 2.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.4.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.4.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \sqrt{2}$ と与えられた点 $(\frac{3}{4} \cdot π, \sqrt{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

ステップ 3.3.1.4

$- \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + 1 \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.3.1.4.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.3.1.4.3

$\sqrt{2}$ と $\frac{3 π}{4}$ をまとめます。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

ステップ 3.3.1.5

$3$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を足します。

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$\sqrt{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.3.3.2

$\sqrt{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

ステップ 3.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

ステップ 3.3.3.4

$4$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4

微分積分 例

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