微分積分例

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = - \frac{43}{4}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.9

$- 4$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.11

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.2

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.4.2

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.5

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.6.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.6.1.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

ステップ 1.6.1.2.4

指数を求めます。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

ステップ 1.6.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

ステップ 1.6.1.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{16} - 1$

ステップ 1.6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 1.6.3

$- 1$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 1.6.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.5.1

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 1 - 16}{16}$

ステップ 1.6.5.2

$- 1$ から $16$ を引きます。

$\frac{- 17}{16}$

ステップ 1.6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{17}{16}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{17}{16}$ と与えられた点 $(4, - \frac{43}{4})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{17}{16}$ をまとめます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{17}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

共通因数を約分します。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.5

式を書き換えます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- 17}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

ステップ 2.3.1.2.5

$- 17$ に $- 1$ をかけます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

ステップ 2.3.1.3

$17$ を $x$ の左に移動させます。

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{43}{4}$ を引きます。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

ステップ 2.3.2.3

$17$ から $43$ を引きます。

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

ステップ 2.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

ステップ 2.3.2.4.2

$- 26$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.4.2.1

$2$ を $- 26$ で因数分解します。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

ステップ 2.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.4.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

ステップ 2.3.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例