微分積分例

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{1}{e}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

ステップ 1.4.2

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.5

$- 1 \frac{1}{e}$ を $- \frac{1}{e}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.7

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

ステップ 1.6.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

ステップ 1.6.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

ステップ 1.6.1.10

$3$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

ステップ 1.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.6.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 3}{e}$

ステップ 1.6.2.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2}{e}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{2}{e}$ と与えられた点 $(1, \frac{1}{e})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.3.1.1

方程式の両辺から $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ を引きます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

ステップ 2.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{2}{e}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3.1.2.3

$- \frac{2}{e} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$\frac{2}{e}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.4

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.5

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

ステップ 2.3.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

ステップ 2.3.2

分子を0に等しくします。

$y e - 2 x + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.3.1.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$y e + 1 = 2 x$

ステップ 2.3.3.1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y e = 2 x - 1$

ステップ 2.3.3.2

$y e = 2 x - 1$ の各項を $e$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$y e = 2 x - 1$ の各項を $e$ で割ります。

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

ステップ 2.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

ステップ 2.3.3.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

ステップ 2.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

ステップ 2.3.4

項を並べ替えます。

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

ステップ 3

微分積分 例

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