微分積分例

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ , $(4, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

左辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

ステップ 1.2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 1.3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

ステップ 1.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

ステップ 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

ステップ 1.3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

ステップ 1.3.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 1.6

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.6.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.2

両辺に $2 y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3

簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.6.3.2.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.2.1.1.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.2.1.1.2

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.2.1.1.3

$2$ を $2 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 1.6.3.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.6.3.2.1.1.5

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.6.3.2.1.2

$\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.3.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8

$y = 1$ と $x = 4$ における値を求めます。

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ステップ 1.8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.8.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.8.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.4.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.8.4.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2^{1}}$

ステップ 1.8.4.4

指数を求めます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{2}$ と与えられた点 $(4, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2))$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 2$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{2} + 2 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{2} + 3$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{2} x) + 3$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例