微分積分例

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 1}$ ; $(3, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x}{x^{2} - 1}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$8 \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$8 \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$8 \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$8 \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$8 \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.9

$8$ と $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.11

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$\frac{- 8 {(3)}^{2} - 8}{{({(3)}^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 8 \cdot 9 - 8}{{(3^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$- 8$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 72 - 8}{{(3^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.3

$- 72$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 80}{{(3^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.12.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 80}{{(9 - 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$9$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 80}{8^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 80}{64}$

ステップ 1.12.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.12.3.1

$- 80$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.1.1

$16$ を $- 80$ で因数分解します。

$\frac{16 (- 5)}{64}$

ステップ 1.12.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.1.2.1

$16$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 4}$

ステップ 1.12.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 4}$

ステップ 1.12.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5}{4}$

ステップ 1.12.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{5}{4}$ と与えられた点 $(3, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - \frac{5}{4} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{5}{4} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{5}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{5}{4} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 5}{4} + 3 (\frac{5}{4})$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4}$

ステップ 2.3.1.5.3

$3$ に $5$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{15}{4}$

ステップ 2.3.1.6

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 3 = - \frac{5 x}{4} + \frac{15}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{15}{4} + 3$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{15 + 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{15 + 12}{4}$

ステップ 2.3.2.5.2

$15$ と $12$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{27}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{5}{4} x) + \frac{27}{4}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{4} x + \frac{27}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例