微分積分例

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = π$ と $y = - 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 + \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.9

掛け算します。

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ステップ 1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.9.2

$1 + \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1.1

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.1.2

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.10.2.1.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.2

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.11

$x = π$ で微分係数を求めます。

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

ステップ 1.12.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

ステップ 1.12.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.12.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 1.12.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 1.12.3.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(π, - 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - π$ に $1$ をかけます。

$y + 1 = x - π$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = x - π - 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例