微分積分例

$y = 10 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5 π)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{2}$ と $y = 5 π$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x \sin (x)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$10 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

ステップ 1.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$10 (x \cos (x) + \sin (x))$

ステップ 1.5

分配則を当てはめます。

$10 x \cos (x) + 10 \sin (x)$

ステップ 1.6

$x = \frac{π}{2}$ で微分係数を求めます。

$10 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$2 (5) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 5 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.1.3

式を書き換えます。

$5 π \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$5 π \cdot 0 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.3

$5 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.3.1

$0$ に $5$ をかけます。

$0 π + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.3.2

$0$ に $π$ をかけます。

$0 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.7.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 10 \cdot 1$

ステップ 1.7.1.5

$10$ に $1$ をかけます。

$0 + 10$

ステップ 1.7.2

$0$ と $10$ をたし算します。

$10$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $10$ と与えられた点 $(\frac{π}{2}, 5 π)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5 π) = 10 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 π = 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$10 \cdot (x - \frac{π}{2})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 π = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 π = 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 π = 10 x + 10 (- \frac{π}{2})$

ステップ 2.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 5 π = 10 x + 10 \frac{- π}{2}$

ステップ 2.3.1.4.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y - 5 π = 10 x + 2 (5) \frac{- π}{2}$

ステップ 2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y - 5 π = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{- π}{2}$

ステップ 2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y - 5 π = 10 x + 5 (- π)$

ステップ 2.3.1.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y - 5 π = 10 x - 5 π$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5 π$ を足します。

$y = 10 x - 5 π + 5 π$

ステップ 2.3.2.2

$10 x - 5 π + 5 π$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 5 π$ と $5 π$ をたし算します。

$y = 10 x + 0$

ステップ 2.3.2.2.2

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$y = 10 x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例