微分積分例

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 64$ と $y = 16$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y'$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x = 3 y^{2} y'$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式を $3 y^{2} y' = 2 x$ として書き換えます。

$3 y^{2} y' = 2 x$

ステップ 1.5.2

$3 y^{2} y' = 2 x$ の各項を $3 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$3 y^{2} y' = 2 x$ の各項を $3 y^{2}$ で割ります。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.7

$y = 16$ と $x = 64$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $64$ で置換えます。

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $16$ で置換えます。

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

ステップ 1.7.3

式を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$2$ に $64$ をかけます。

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

ステップ 1.7.3.2

$16$ を $2$ 乗します。

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

ステップ 1.7.3.3

$3$ に $256$ をかけます。

$\frac{128}{768}$

ステップ 1.7.4

$128$ と $768$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

$128$ を $128$ で因数分解します。

$\frac{128 (1)}{768}$

ステップ 1.7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.2.1

$128$ を $768$ で因数分解します。

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

ステップ 1.7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

ステップ 1.7.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{6}$ と与えられた点 $(64, 16)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ を $- 64$ で因数分解します。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{3}$ と $- 32$ をまとめます。

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

ステップ 2.3.2.2

$16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.2.3

$16$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$16$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 32$ と $48$ をたし算します。

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例