微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 4 x - 2$ at $x = - 2$

ステップ 1

$x = - 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$y = - {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$

ステップ 1.2

$- {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$y = - - 8 + 4 (- 2) - 2$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = 8 + 4 (- 2) - 2$

ステップ 1.2.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$y = 8 - 8 - 2$

ステップ 1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$y = 0 - 2$

ステップ 1.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$y = - 2$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{3} + 4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 3 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{2} + 4$

ステップ 2.5

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$- 3 {(- 2)}^{2} + 4$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 3 \cdot 4 + 4$

ステップ 2.6.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- 12 + 4$

ステップ 2.6.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(- 2, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 8 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 = - 8 x - 8 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 8$ に $2$ をかけます。

$y + 2 = - 8 x - 16$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = - 8 x - 16 - 2$

ステップ 3.3.2.2

$- 16$ から $2$ を引きます。

$y = - 8 x - 18$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例