微分積分例

$f (x) = {({(x - 1)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = {({(2 - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

ステップ 1.2.3

${({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$y = {(1^{2} - (2))}^{2}$

ステップ 1.2.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = {(1 - (2))}^{2}$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = {(1 - 2)}^{2}$

ステップ 1.2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$y = {(- 1)}^{2}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{2} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x - 1)}^{2} - x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x - 1)}^{2} - x$ で置き換えます。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

ステップ 2.2

総和則では、 ${(x - 1)}^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.4.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 1) - 1)$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

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ステップ 2.5.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

ステップ 2.5.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 2 - 1)$

ステップ 2.5.3.3

$- 2$ から $1$ を引きます。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$(2 ((x - 1) (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.5.4.2.1

分配則を当てはめます。

$(2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.2.2

分配則を当てはめます。

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.2.3

分配則を当てはめます。

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$(2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(2 (x^{2} - x - x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$(2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.4

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.5

$- 4 x$ から $2 x$ を引きます。

$(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$

ステップ 2.5.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$ を展開します。

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.5.7.2.1

$x$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.5.7.6.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.7

$- 6$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.8

$- 3$ に $- 6$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.9

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.5.7.10

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

ステップ 2.5.8

$- 6 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

ステップ 2.5.9

$18 x$ と $4 x$ をたし算します。

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 22 x - 6$

ステップ 2.6

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$4 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

ステップ 2.7.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$32 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

ステップ 2.7.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$32 - 18 \cdot 4 + 22 (2) - 6$

ステップ 2.7.1.4

$- 18$ に $4$ をかけます。

$32 - 72 + 22 (2) - 6$

ステップ 2.7.1.5

$22$ に $2$ をかけます。

$32 - 72 + 44 - 6$

ステップ 2.7.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$32$ から $72$ を引きます。

$- 40 + 44 - 6$

ステップ 2.7.2.2

$- 40$ と $44$ をたし算します。

$4 - 6$

ステップ 2.7.2.3

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(2, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 2 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y - 1 = - 2 x + 4$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 2 x + 4 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$y = - 2 x + 5$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例