微分積分例

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{1}{2}$ と $y = \frac{π}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \arcsin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 1.3

$3$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 1.4

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数を求めます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

ステップ 1.5.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

ステップ 1.5.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

ステップ 1.5.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

ステップ 1.5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

ステップ 1.5.1.6

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

ステップ 1.5.1.7

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

ステップ 1.5.1.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

ステップ 1.5.1.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 1.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.5.4.6.5

指数を求めます。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.5.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.5.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.5.5.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2 \sqrt{3}$ と与えられた点 $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.2.2.2

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$- 1$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$- \sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.3.2

$- \sqrt{3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 2.3.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $- 2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

ステップ 2.3.3.6

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

ステップ 2.3.3.8

$- (2 \sqrt{3} - π)$ を $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ に書き換えます。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

ステップ 2.3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

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