微分積分例

$y = 4 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{2} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - (3 x^{2})$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$8 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 3 x^{2} + 8 x$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- 3 {(1)}^{2} + 8 (1)$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 3 \cdot 1 + 8 (1)$

ステップ 1.6.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 8 (1)$

ステップ 1.6.1.3

$8$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 8$

ステップ 1.6.2

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$5$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $5$ と与えられた点 $(1, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = 5 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$5 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = 5 x + 5 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y - 3 = 5 x - 5$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = 5 x - 5 + 3$

ステップ 2.3.2.2

$- 5$ と $3$ をたし算します。

$y = 5 x - 2$

ステップ 3

微分積分 例

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