微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

ステップ 1

$x = 4$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

ステップ 1.2.3

括弧を削除します。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

ステップ 1.2.4

$\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ と $4 (4) - {(4)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

項を並べ替えます。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.1.2

$4$ を ${(4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.1.3

$4$ を $- 16 \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.1.4

$4$ を $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.5.1

$4$ を $- {(4)}^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.1.5.2

$4$ を $4 \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

ステップ 1.2.4.1.5.3

$4$ を $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.4.1.5.4

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.4.1.5.5

式を書き換えます。

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.2

$4 - 4 \cdot 4$ と $- 4^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.2.2

$4$ を $- 4 \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.2.3

$4$ を $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.1

$4$ を $- 4^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

ステップ 1.2.4.2.4.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

ステップ 1.2.4.2.4.3

$4$ を $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

ステップ 1.2.4.2.4.4

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

ステップ 1.2.4.2.4.5

式を書き換えます。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.2.4.3

$1 - 1 \cdot 4$ と $- 1 \cdot 4 + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

項を並べ替えます。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.2.4.3.3

式を書き換えます。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2} - 16 x$ および $g (x) = 4 x - x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.6

総和則では、 $4 x - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.9

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.11

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2.12

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.4

$- 16$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.6

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.6.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.8

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.3

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.5

$4$ に $16$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.7

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.7.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.5.8

$16$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$- 64 x$ と $64 x$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

$8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.3

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.4

$- 2 x^{4}$ と $3 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.5

$16 x^{3}$ から $48 x^{3}$ を引きます。

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$x^{2}$ を $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

$x^{2}$ を $- 32 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.3

$x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$x$ を $- x^{3} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.1.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.1.3

$x$ を $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

ステップ 2.3.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.3.5.3

$- x^{2}$ と $2^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

ステップ 2.3.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

ステップ 2.3.5.5

積の法則を $x (2 + x) (2 - x)$ に当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.6

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.8

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.9

${(2 x + x^{2})}^{2}$ を $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.10

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.4

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.4.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.11.1.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.1.7.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.11.2

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.12

$x^{2}$ を $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.12.1

$x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.12.2

$x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.12.3

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.12.4

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.12.5

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.13

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.13.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.13.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

ステップ 2.3.5.13.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.13.4

$a = 2$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

括弧を削除します。

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.2.2

$- 32$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.2.3

$16$ から $128$ を引きます。

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4

$- 112$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$2$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.4

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 2.5.3.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

ステップ 2.5.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$36$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 108}{144}$

ステップ 2.5.4.2

$- 108$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

$36$ を $- 108$ で因数分解します。

$\frac{36 (- 3)}{144}$

ステップ 2.5.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.2.1

$36$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

ステップ 2.5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

ステップ 2.5.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{4}$

ステップ 2.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $- \frac{3}{4}$ と与えられた点 $(4, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.3.1

$- \frac{3}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.2.3.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

ステップ 3.3.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.2.3.4

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.2.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

ステップ 3.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例