微分積分例

$y = x^{2} - 6 x + 9$ at $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 1.2.3

${(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$y = 4 - 12 + 9$

ステップ 1.2.3.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$4$ から $12$ を引きます。

$y = - 8 + 9$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 6 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 6$

ステップ 2.4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$2 (2) - 6$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 - 6$

ステップ 2.5.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(2, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 2 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y - 1 = - 2 x + 4$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 2 x + 4 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$y = - 2 x + 5$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例