微分積分例

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 9$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{2 x} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

ステップ 1.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x} - 4$ で置き換えます。

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

ステップ 1.2

総和則では、 $e^{2 x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.4.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.4.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

ステップ 1.4.5

式を簡約します。

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ステップ 1.4.5.1

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

ステップ 1.4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

ステップ 1.5.3

項をまとめます。

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ステップ 1.5.3.1

指数を足して $e^{2 x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.3.1.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

ステップ 1.5.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

ステップ 1.5.3.1.3

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

ステップ 1.6

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

ステップ 1.7.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

ステップ 1.7.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 16 e^{2 (0)}$

ステップ 1.7.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$4 - 16 e^{0}$

ステップ 1.7.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 - 16 \cdot 1$

ステップ 1.7.1.6

$- 16$ に $1$ をかけます。

$4 - 16$

ステップ 1.7.2

$4$ から $16$ を引きます。

$- 12$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 12$ と与えられた点 $(0, 9)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 9 = - 12 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$y = - 12 x + 9$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例