微分積分例

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$8$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

ステップ 1.2.6

並べ替えます。

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ステップ 1.2.6.1

$2$ を $y^{8}$ の左に移動させます。

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

ステップ 1.2.6.2

項を並べ替えます。

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

ステップ 1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $2 y^{8} x$ を引きます。

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

ステップ 1.5.2

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ の各項を $8 y^{7} x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ の各項を $8 y^{7} x^{2}$ で割ります。

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y^{7}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.3.1

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 y^{8} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.2.1

$2$ を $8 y^{7} x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3.2

$y^{8}$ と $y^{7}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.2.1

$y^{7}$ を $- y^{8} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.2.2.1

$y^{7}$ を $4 y^{7} x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

ステップ 1.5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

ステップ 1.5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.3.1

$x$ を $- y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.3.2.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

ステップ 1.5.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

ステップ 1.5.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y}{4 x}$

ステップ 1.5.2.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{4 x}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 3$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{y}{4 (3)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{1}{4 (3)}$

ステップ 1.7.3

$4$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{12}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{12}$ と与えられた点 $(3, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.5

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{- 1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

ステップ 2.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例