微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = - 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

掛け算します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 1.2.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 1.5.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(1, - 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 = x - 1$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = x - 1 - 1$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$y = x - 2$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例