微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at the point $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{- 4}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{1}$

ステップ 1.5.2

$3$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 3$

ステップ 1.5.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 3$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 3 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - 3 x + 3$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 3 x + 3 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = - 3 x + 4$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例