微分積分例

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{4}$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 1.2

$x = \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

ステップ 1.3.3.6.5

指数を求めます。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 1.3.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

${\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 1.3.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 1.3.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.3.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.3.5.4.2

式を書き換えます。

$2^{1}$

ステップ 1.3.5.5

指数を求めます。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(\frac{π}{4}, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 2 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \cdot (x - \frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 2 x + 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 2.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{4}$

ステップ 2.3.1.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 (2)}$

ステップ 2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y - 1 = 2 x + \frac{- π}{2}$

ステップ 2.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = 2 x - \frac{π}{2}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 2 x - \frac{π}{2} + 1$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 2 x - \frac{π}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = 2 x + \frac{- π + 2}{2}$

ステップ 2.3.3.3

$- 1$ を $- π$ で因数分解します。

$y = 2 x + \frac{- (π) + 2}{2}$

ステップ 2.3.3.4

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$y = 2 x + \frac{- (π) - 1 (- 2)}{2}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $- (π) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$y = 2 x + \frac{- (π - 2)}{2}$

ステップ 2.3.3.6

$- (π - 2)$ を $- 1 (π - 2)$ に書き換えます。

$y = 2 x + \frac{- 1 (π - 2)}{2}$

ステップ 2.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = 2 x - \frac{π - 2}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例